Matemáticas: Álgebra: Raíces Cuadradas y Cubicas


Como nunca falta o esta de mas refrescar los métodos aritméticos que usualmente hemos dejado atrás por el uso y acceso  de las computadoras, calculadoras, etc.  Los cálculos de raíces seria un ejemplo clásico de ello.

Raíces

La raíz consta de 3 partes básicas:

  • Radicando (a): Es el número dentro del símbolo de la raíz. A este numero se le efectúa la operación de extracción de la raíz.
    • Residuo  de la Raíz: valor que pertenece aun al radicando y al que no se le ha computado la raíz, de acuerdo a la situación al alcanzar valores pequeños se suele omitir
  • Radical (n): el índice del símbolo de la raíz o potencia ( que se indica en fracciones)
  • Raíz (r): Valor cuando el numero (radicando) es extraído de la raíz.  Son los valores computados, tantos enteros como decimales

Se describen 5 métodos para la raíz cuadrada y tres para la raíz cubica, los primeros métodos deben resolver el polinomio de la suma de dos términos elevados a la potencia 2 o 3 , de manera que el primer termino es el valor mas aproximado o exacto del radicando, y el segundo es el residuo, que puede o suele despreciarse. Los últimos dos métodos son descomposición de factores múltiplos y la aproximación por el método numérico  recursivo de Newton Rapson

Raíces Cuadradas

Se resuelven con diferentes métodos las raíces  de los números:
\sqrt{18}      : De 18  Se obtiene una raíz con residuo.
\sqrt{4.25}:   De 4.25 Se obtiene una raíz con residuo. Muestra el caso donde hay que sumar cero en el residuo durante  el calculo.

Como regla general y un punto importante es tomar en cuenta que :
(1)En las raíces cuadradas, partir del punto 
-la parte entera del radicando se separan de derecha a izquierda en periodos o grupo de 2 cifras,
-La parte decimal del radicando se separan de  izquierda a derecha en periodos o grupo de 2 cifras.
*en raíces cubicas los periodos son de tres y así sucesivamente.
 *En estos ejemplos mostrados de raíz cuadrada no están marcados en la parte entera, pero en el caso de los ejemplos de la raíz cubica si se observan

Paso ‘inicial’
-⓪Se busca un numero que se que elevado al indice de la raíz sea exacto o inmediato menor a el. Ese numero sera el primero de la la solución o raíz ( de numero ‘d’) o lo llamamos ‘d_1‘  y el resultado sera usado en el paso siguiente.
(Nota: Solo la primera vez de la operación sera el numero a elevado a la potencia, a partir siguiente primer ciclo  sera ahora el paso ① obtenido con el numero multiplicado por 2 (×2) , en raíces cuadradas o por 3 (×3) en raíces cubicas y así sucesivamente )

Método 01:
Resolviendo el los elementos polinomio de para la suma de dos términos elevados a la potencia 2. Este método es importante conocerlo para entender como resuelve verdaderamente la raíz, y como operan los siguientes metodos simplificados, a la la vez es un método extensible al calculo de raíces de cualquier radical,  siendo los  casos en que debe determinarse el polinomio  correspondiente.
Resolución paso a paso:
Se resuelve en 5 pasos simples adicionales:
De la raíz: el resultado del numero obtenido en paso anterior se resta al radicando y se obtiene el  residuo de este ciclo de cálculos, y se procede a agregar a la izquierda de el, el siguiente ‘periodo’ de números a la derecha [son de dos números en raíces cuadradas, de tres en cubicas, etc],
② A la vez el numero ‘d_1‘   se multiplica por 2 😦×2)
Del residuo: Del residuo obtenido se omite el primer numero de izquierda a derecha ( por ello se colora de ‘gris’)[# en raíces cuadradas se omite 1, en cubicas se omiten 2 números y así sucesivamente].
Esta cifra se divide ‘(/)’ este entre en numero que resulto de la multiplicación ‘(×2)’ en el paso anterior. Tomamos la parte entera y este sera ahora nuestro ‘u_1‘.
④ Con ‘d_1‘ y  ‘u_1‘, podemos calcular el 2do termino (multiplicado x10) y el 3er termino (multiplicado por 1) del polinomio y luego los sumamos.
[* Nota en raíces cubicas el polinomio tiene cuatro términos y se calculan los tres últimos: el 2do termino (multiplicado x100),  3er  (multiplicado por 10) y 4to termino (multiplicado por 1) ]
⑤El valor obtenido  del paso anterior se restara ‘(-)’ al anterior ‘residuo’, al que se le agrego el ‘periodo’ del paso ① para ampliar la cifra. Este sera ahora nuestro nuevo ‘residuo
Ahora volvemos al paso ① nuevamente y lo repetimos ciclicamente hasta que el residuo resulte ‘cero’ o hasta que tengamos suficientes términos en la raíz obtenida ( valor de d)

( en el caso del paso ③ se observa la marca como apostrofe o se colorea de gris para identificarlo: véase  que en raíz de 18 (sqrt(18)) separa los números ‘0 y ‘0’,   y en raíz de 4.25  (sqrt(4.25))  separa a ‘5, ‘0’ y  ‘0  )

Método 02:
Resolviendo  el polinomio de para la suma de dos términos elevados a la potencia 2, con un método mas directo.  Para resolverlo se asume que se conoce como opera el primer método de resolución.
El paso ④ se simplifica, pues el polinomio no se computa sino que se deduce:
el valor de la multiplicación por ‘(×2)’  en ②[siendo el caso 8]  y el valor de  ‘d_1‘ obtenido en y ③ [siendo el caso 2], permite construir ese numero [como 82×2=164] como se muestra en el ejemplo:

Método 03:
Resolviendo  el polinomio de para la suma de dos términos elevados a la potencia 2, con  el método mas directo y mas corto.
El paso ③  se obvia, por lo tanto no se realizara:
– La omisión de los numero de izquierda a derecha en la sección del residuo
-El calculo de la división.
Y sin embargo si se requiere el razonamiento o calculo mental para determinar un valor que se agrega dos veces (números subrayados), de manera que el resultado pueda ser ejecutado en el paso ⑤ .
  Es la mayor simplificación del método 01 y  02, y completamente efectiva.

los siguientes son dos ejemplos mas, independientes de los mostrados en los métodos anteriores para los valores de raiz de 65536  (sqrt(65536)) (ejemplo de valor exacto ) y raíz de 134 (sqrt(134)) (ejemplo de valor con residuo):

Método 04: descomposición de los factores múltiplos

Por descomposición de los factores múltiplos del radicando, el resultado se muestra diferente a los métodos anteriores, pero con la diferencia que de no ser exacta deja contenidos términos de raíces que pudieran necesitar resolverse aunque son valores usualmente conocidos.

Método 05: Análisis Numérico 

Método de análisis numérico por aproximación con Newton-Rapson. Requiere establecer un valor inicial que puede ser aproximado  a la raíz buscada (usualmente menor a ella) y luego de algunas iteración el valor converge al valor esperado

\displaystyle X_{[n+1]} = \frac{1}{2}\cdot\left(X_{[n]}+\frac{m}{X_{[n]}}\right)

Raíz Cuadrada de:    18
X[n+1]                        =1/2*(E2+$D$1/E2)

X[0]=                           1         
Iteración_01            9.5
Iteración_01            5.697368421
Iteración_02            4.428360885
Iteración_03            4.246535129
Iteración_04           4.242642473
Iteración_05           4.242640687
Iteración_06           4.242640687
Iteración_07           4.242640687
Iteración_08            4.242640687

Raíces Cubicas

Solo de describe para 3 métodos de los anteriores desarrollados en la raíz cuadrada.

\sqrt[3]{1782}:  de  1782   Se obtiene una raíz exacta.
\sqrt[3]{12326391}: de 12326391:   Se obtiene una raíz exacta..
\sqrt[3]{2299968} : de 2299968:    Se obtiene una raíz exacta. Se observa el caso cuando un termino computado de la raíz arroja un valor muy alto para el computo del residuo, por lo que requiere un razonamiento.

Método 01:

Semejante al de la raíz cuadrada, Aquí se presenta un caso de ejemplo (para el calculo de la raíz de 132) en donde debe aplicarse el razonamiento, en el momento que se presente una inconsistencia en los resultados de la raíz que se usaran para la resta en el residuo. Simplemente. Simplemente se omite el numero directo y se ajusta a un numero menor.

Método 04:

Igualmente, semejante al dela raíz cuadrada, aquí con con resultado exacto

Método 05:

Semejante al  caso de la raíz cuadrada.

\displaystyle X_{[n+1]} = \frac{1}{3}\cdot\left(2 X_{[n]}+\frac{m}{X_{[n]}^{2}}\right)

Raíz cubica de :   12326391   
X[n+1]                       =1/3*(2*X[n]+m/X[n]^2)    

X[0]=                          100
Iteración_01           477.5463667
Iteración_02            336.3812907
Iteración_03            260.5662649
Iteración_04            234.2279713
Iteración_05            231.0442814
Iteración_06            231.0000085
Iteración_07            231
Iteración_08            231
Iteración_09            231

 

Lecturas recomendadas:
Citado APA:
Del Moral, M. & Rodriguez, J. (s.f.). Ejemplo de Raíz Cúbica.Ejemplo de. Recuperado el 6 de Marzo de 2022 de .https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4379-ejemplo_de_raiz_cubica.html
Raiz Recuperado el 6 de Marzo de 2022 de .https://www.matematicas18.com/es/tutoriales/aritmetica/raiz/
Angel Magallanes Latex y Creación de Formulas para publicaciones de WordPress (Sin CSS) .https://angelmagallanes.wordpress.com/2021/12/11/latex-y-creacion-de-formulas-para-publicaciones-de-wordpress-sin-css/

 

 

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