17 ecuaciones que cambiaron el mundo


Del libro de Ian Stewart, profesor emérito de la Universidad de Warwick.

Pitagoras
530 a.C. Teorema de Pitágoras, Pitágoras

a^2+b^2=c^2

«El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.»
Define la geometría del plano euclidiano normal. Por ejemplo, un triángulo rectángulo dibujado en la superficie de una esfera como la Tierra no necesariamente cumple el teorema.

Logaritmos
1610. Logaritmos John Napier.

LogXY=Log X+Log Y

«El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los terminos individuales».
Permite multiplicar números agregando números relacionados.

Derivadas y Límites
1668. Cálculo. Newton./ (Gottfried Leibniz (cálculo), Weierstrass (límites)

f'(t)=\dfrac{\mathrm{d} f }{\mathrm{d} t}=\lim\limits_{h \to 0 } \dfrac{f(t+h)-f(t) }{h}

 «Una función derivada f'(t) tiende al limite «L»  (siempre que el limite exista).  Esto es:  si al ser evaluada f(h)=(f(t+h)-f(t))/h dentro de un intervalo  «t±h», a medida que (la variable) «h» tiende a cero,  si para cualquier  valor infinitesimal que resulte el limite L  de ε >0, existe  otro valor infinitesimal «σ»  mayor que cero  en «t»  : σ>0,  tal que  el modulo del valor de «h» es menor que σ  :  |h|<σ , lo que implica que  el modulo de la evaluación de la función «f(h)» menos su limite, es menor que el valor infinitesimal ε : |f(h)-L)|<ε .» (Definición Moderna).
En modelados con intervalos donde las funciones son continuas (definido por la existencia del limite), permite el cálculo de una tasa de cambio instantánea.

Ley de la Gravedad (derivada desde la 2da Ley de Newton)
1687. Ley de la gravedad  Newton./ (Robert Hooke)

\mathrm{F}=\mathrm{G}\dfrac{{m_1 m_2}}{{r^2}}

«La fuerza de atracción de dos masas es directamente proporcional a la constante de gravitacional universal multiplicada por el producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que las separa»
Define la fuerza de la atracción por gravedad entre dos objetos.

Variable Compleja
1750. Raíz cuadrada de Menos Uno. Leonhard Euler../ Girolamo Cardano

i^2 = -1

«la raíz cuadrada de la unidad negativa es un numero imaginario».
El cálculo de números reales se puede extender a los números complejos (análisis complejo) con simetrías y ciertas propiedades.

Formula de Euler para Poliedros
1751. La formula de Euler  para poliedros. Leonhard Euler.

V-E+F=2

«En un Poliedro Solido, sumado el numero de vértices (V)  y el numero de Caras (F) y luego restando el numero de las aristas, esquinas o bordes (E) es resultado es siempre igual a dos (2)»
Describe una relación numérica que es verdadera para todas las formas sólidas de un tipo particular.
Fundamental para el desarrollo de la topología, que extiende la geometría a cualquier superficie continua.

Distribución Normal
1810. Distribución normal  C.F. Gauss./(Blaise Pascal, Bernoulli, Adolphe Quetelet)

\phi (x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}} e^{(\dfrac{x-u}{2\sigma^2})}

«La probabilidad de observar un valor particular de un dato es mayor cuando el valor es cercano al valor medio, y esa probabilidad tiende a disminuir rápidamente (a una tasa conocida como desviación estándar) a medida que la diferencia absoluta de ese dato respecto al valor medio se incrementa «
Define la curva  de  distribución de probabilidad  normal estándar (en forma de campana) en la que la probabilidad de observar un punto es mayor cerca del promedio y disminuye rápidamente a medida que uno se aleja
.

Ecuación de Onda
1746. Ecuación de onda. Jean D’Ambert. /(Daniel Bournoulli [la vibracion es sinusoidal])

\dfrac{\mathrm{\partial ^2}u}{\mathrm{\partial } t^2}= c^2\dfrac{\mathrm{\partial ^2}u }{\mathrm{\partial } x^2} 

«La aceleración (cambio en el desplazamiento  respecto al tiempo) de un pequeño segmento de cuerda vibrante, es proporcional a la fuerza que actúa sobre el, siendo causada por  la rata de cambio  de desplazamiento de ese segmento de la cuerda respecto a la posición de los segmentos adyacentes  que ejercen la fuerza neta de tensión «.
Ecuación diferencial que describe el comportamiento de las ondas.
Solución: Es una ecuación Lineal: si para dos soluciones: u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)  y v(x,t)= m(x-ct)+n(x+ct), su combinación lineal también lo es au(x,y)+bv(x,t) con a,b constantes y para toda función f, g m, n.

Transformada de Fourier
1822. Transformada de Fourier. J . Fourier.

\displaystyle  \hat{F}(f) = \int_{-\infty }^{\infty} g(x) e^{(-2 \pi i x f )} dx

“Los patrones de onda complejos en el  espacio y el tiempo pueden ser descritos como una función de superposición de patrones sinusoidales con diferentes frecuencias».
Extensión de la ecuación diferencial del flujo de calor (tambien de Fourier)  y la ecuación de onda. 

Ecuaciones de Navier-Stokes
1845. Ecuaciones de Navier-Stokes. Claude-Louis Navier (ingeniero francés) y  irlandés George Stokes (matemático)

\psi (\dfrac{\partial v}{\partial t} +v \cdot \nabla v )= -\nabla p +\nabla \cdot T +f

Derivada desde y similar a la 2da ley de movimiento de newton:» La aceleración de una pequeña cantidad de fluido, es igual a  las fuerzas que actúan sobre él (fuerzas causadas por la Tensión elástica o estrés que genera tanto la fricción dada por la viscosidad, como la  presión  siendo positiva y negativa (compresión y rarefacción ), y las fuerzas que actúan  en el cuerpo (por aceleración de las propias partículas) y sobre el cuerpo (como la gravedad ) )».
Describe cómo funcionan los fluidos.
Solución: Se resuelve en un flujo bi dimensional (se desconoce para uno tridimensional). numéricamente es prácticamente imposible y se recurren a métodos  de cálculos en rejillas como  con CFD o mecánica de fluidos computacional, o métodos menos computables, como los modelos estadisticos. Analógicamente se usan modelos en túneles de viento (o fluidos) para que variando pocas propiedades generales de las ecuaciones y escalas del modelo se obtienen los cambios de las variables .

Ecuaciones de Maxwell
1865. Ecuaciones de Maxwell  J.C. Maxwell./(Michael Faraday)

\nabla \cdot E =0 ;   \nabla \times E = -\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial H}  {\partial t}
\nabla \cdot H =0 ;   \nabla \times H = +\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial E} {\partial t}

«Para campos (sistema de vectores)  eléctricos y magnéticos que suceden en el vació y considerándolos (fluidos) incompresibles (por lo que no pueden desvanecerse), implica que sus divergencias es igual a cero «
«Un campo eléctrico girando (es decir el rotacional) crea un campo magnético perpendicular al giro. Un campo magnético  girando (igualmente el rotacional) crea un campo eléctrico perpendicular al giro pero en sentido opuesto (es decir con valor de dirección negativo)»
En analogía a la matemática de los fluido y flujos. Proporciona la relación entre los campos eléctricos y magnéticos.

Segunda Ley de termodinámica
1874. Segunda ley de termodinamica. L Boltzmann./ (Sadi Carnot [la postulo] , Ludwig Boltzmann [la extendio],William Thomson [la declaro])

dS\geq0

La entropía termodinámica (grado de desorden) es siempre mayor o igual que cero.  La energía y el calor de un sistema  (sistema ordenado) se disipan con el tiempo.

Teoría de la Relatividad
1905. Relatividad. Einstein./(Experimento de Albert Michelson y Edward Morley)

E=m c^2

«La energía esta relacionada con  la materia por la velocidad a la que se desplaza al cuadrado».
En la relatividad especial la velocidad de la luz es un límite universal de velocidad y el tiempo es diferente para las personas que se mueven a diferentes velocidades.

En la relatividad general la gravedad es una curva de espacio-tiempo, agregando un promer cambio importante a la comprensión de la gravedad desde la ley de Newton.

 

Ecuación de Schrödinger
1927. Ecuación Schrodinger’s  E. Schrodinger./ (Louis-Victor de Broglie 1924 [ identifico el comportamiento de la materia] , Werner Heisenberg, Erwin Schrodinger 1927 [la derivo])

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi(t)\right> = \hat{H}\left|\Psi(t)\right>

La tasa de cambio de la función de onda cuántica Ψ que se haya en el plano complejo relaciona a los niveles de energía de los modos de vibración multiplicado por la contante de Planck entre 2n, y es proporcional al hamiltoniano de la función de onda cuántica, es decir sus autofunciones. Sin embargo en la «observación» en mecánica cuántica, por tratarse de ondas superpuestas complejas, solo una de las componentes de las autofunciones puede ser medida (interpretación de Conpenhague), colapsando la medición a una función de onda pura.
Ecuación principal en física cuántica, donde los modelos se comportan como una onda, en lugar de una partícula.

Teoría de la información
1949. Teoría de la información. C. Shannon.

 H=-\sum p(x) log_2 p(x)

«La entropía de la informacion es igual al negativo de las sumatorias de los productos de la probabilidad de ocurrencia del simbolo y  el logaritmo de la probabilidad del simbolo cuyo logatitmo tiene como base la cantidad de simbolos usados para transmitir la informacion» (es base «dos» si los simbolos son binarios: 1 y 0).
Representa un límite inferior de cuánto se puede comprimir ese mensaje sin perder parte de su contenido. Conocida como Ecuación para la entropía de información de Shannon, que mide el contenido de información de un mensaje.

El modelo logístico discreto para el crecimiento de la población
1975. Teoria del caos. Robert May (biólogo)./(Vladimir Arnold , Stephen Smale matemáticos)

 x_{t+1} = k x_{t} (1-x_{t})

Ecuación no lineal,  con una tasa «k» de relación crecimiento/mortandad, que describe el crecimiento exponencial de la población y lo que conlleva al aumento de la mortandad debido a la competencia por los recursos (termino cuadrático negativo) a medida que el numero de las generaciones o el tiempo «n» aumenta.
Pequeños cambio de la tasa «k» generan resultados impredecibles que pueden resultar muy complejos, lo que  presenta una dinámica caótica, y lo que dio un nuevo soporte al estudio de la Teoría del Caos.
para algunas condiciones iniciales y ciertos valores de parámetros conduce a tamaños de población negativos,

El modelo Black-Scholes
1990. Modelo Black-Sholes. F. Black, M. Sholes./ Fischer Black y Myron Scholes[ La desarrollaron], Robert Merton [el análisis matemático y ampliación]

 \dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}+r S \dfrac{\partial V}{\partial S}+\dfrac{\partial V}{\partial t}-rV = 0

Describe cómo el precio de un derivado financiero (S) cambia en el tiempo y como se acelera, basándose en el principio de que cuando el precio (V) es correcto, el derivado no conlleva  (una tasa de interés libre de) riesgo (r) aun con la volativilidad de las acciones (\sigma^2 ) y nadie puede sacar beneficio vendiéndolo a un precio diferente. Mantiene varios supuestos que no son ciertos en los mercados financieros reales.

 

«En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo» de Ian Stewart (Traducción: Patricio Barros)

 

 

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