Enunciados y respuestas


Enunciados y respuestas

A modo de apéndice vamos a dar los siete enunciados y la respuestas (con alguna idea de cómo llegar a ellas) para aquellos que quieran poner a prueba su capacidad de razonamiento matemático:

1.- La raíz digital de un entero no negativo es el dígito obtenido por un proceso iterativo de suma de dígitos, cada vez utilizando el resultado de la iteración anterior hasta que se obtiene un solo dígito. Por ejemplo, la raíz digital de 395 es 3 + 9 + 5 = 17 y 1 + 7 = 8. ¿Cuál es la raíz digital de 32017?

3 elevado a cualquier número mayor que 2 es un múltiplo de 9 y en el colegio nos enseñaron que la suma de los dígitos de los múltiplos de 9 es un número, menor que el primero, que es múltiplo de 9. Así que, puesto que 32017 es múltiplo de 9, si aplicamos este proceso tantas veces como haga falta hasta obtener un único dígito, ese dígito tiene que ser múltiplo de 9. Ya está, el único número de un dígito y múltiplo de 9 es el propio 9. Luego la solución es 9.

2.- La longitud de un arco de 45 grados en el círculo P tiene la misma longitud que un arco de 60 grados en el círculo Q. ¿Cuál es la relación entre el área del círculo P y el círculo Q?

Aquí Luke, que se arriesgaba siempre más, dio una respuesta errónea y al cabo de 20 segundos (de los 45 que tenían para dar su respuesta), Andrew dio la correcta. La idea es que con 8 arcos del enunciado, se tiene el círculo P y con 6 el Q, luego los radios están también en la misma proporción de 8/6=4/3, pero las áreas son funciones cuadráticas del radio, luego la proporción de las áreas es de (4/3)2=16/9.

3.- Si x satisface 4x + 5x = 6x. ¿Cuál es el entero más grande que es menor que x?

4x + 5x crece más lento que 6x y como la 42 + 52 > 62 y 43+53 < 63 , la respuesta correcta es 2 que Luke dio en unos tres segundos.

4.- La novela Cat Lawyer tiene 300 páginas y promedia 240 palabras por página. La secuela de Cat Lawyer, Probable Claws, tiene 60 páginas más y promedia 30 palabras más por página. En términos del número total de palabras, ¿por qué porcentaje es Probable Claws más largo que Cal Lawyer?

Este es un simple ejercicio de multiplicar porcentajes, pero tardaron bastante en dar la respuesta correcta (35%) y lo hizo Andrew.

5.- Ian empieza a subir unas escaleras. Cada vez que da un paso, decide aleatoriamente si sube 1, 2 o 3 peldaños. ¿Cuál es la probabilidad de que Ian ponga el pie en el cuarto peldaño por encima de su posición inicial en su camino por las escaleras?

Para resolver este ejercicio hay que hacer más cálculos que en los anteriores. Lamemos P[k] a la probabilidad de pisar el escalón k-ésimo. Evidentemente, sólo podemos llegar a una posición directamente, en un solo paso, desde las tres anteriores y desde cualquiera de ellas, llegaremos a la «k» con una probabilidad de 1/3, por lo tanto:

P[k]=1/3*(P[k-1]+P[k-2]+P[k-3])

A los primeros 3 escalones también se puede llegar directamente (desde el escalón 0), por lo tanto, las probabilidades en cada caso son:

P[0]=1 (significa que empezamos en el escalón «0»)

P[1]=1/3*P[0]

P[2]=1/3*(P[0]+P[1])

P[3]=1/3*(P[0]+P[1]+P[2])

P[4]=1/3*(P[1]+P[2]+P[3])

A los 30 segundos Luke dio una respuesta incorrecta y pasados los 35 Andrew dice 37/81 que es correcto.

6.- ¿Cuántos números enteros positivos de seis dígitos son divisibles en 1000 pero no en 400?

Al cabo de 2-3 segundos Luke dijo 450.

7.- En una granja, 100 polluelos se sientan pacíficamente en un círculo. De repente, simultaneamente cada polluelo picotea al pollito inmediatamente a su izquierda o derecha (a uno de los dos aleatoriamente). ¿Cuál es el número esperado de pollitos que no han recibido ningún picotazo?

Para dar la respuesta correcta, lo suyo es ponerse en el papel de uno de los polluelos: ¿Cuál es la probabilidad que le pique el de la derecha? ½ naturalmente y lo mismo con el de la izquierda, luego que no te pique ninguno es el producto de esos dos por lo tanto es ¼ y como hay 100 polluelos, 25 de ellos no recibirán picotazos (de media si se repite muchas veces el experimento).

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